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Regelheft Nr.1
Bei der Addition heißen die natürlichen Zahlen a und b Summanden und a + b Summe.
Beispiel: 44 (1.Summand) + 88 (2.Summand) = 132 (Summe) Nr.2/3
Bei der Addition gilt für alle a, b, c ? IN (siehe Nr.44)
1. das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz): a + b = b + a und
2. das Assoziativgesetz (Klammervertauschungsgesetz):( a + b ) + c = a + ( b + c )
Beispiel: KG AG
( 4 + 13 ) + 26 = ( 13 + 4 ) + 26 = 13 + ( 4 + 26 ) = 13 + 30 = 43
Nr.4
Bei der Subtraktion heißt die Zahl a Minuend, die Zahl b Subtrahend und a - b Differenz.
Beispiel: 9 (Minuend) - 4 (Subtrahend) = 5 (Differenz) Bei der Subtraktion gelten weder das Assoziativgesetz noch das Kommutativgesetz.
Beispiel: AG Richtig: 30 - ( 16 - 14 ) = 30 - 2 = 28
Falsch: 30 - ( 16 - 14 ) = ( 30 - 16 ) - 14 = 14 - 14 = 0 KG Richtig: 30 - 16 = 14
Falsch: 30 - 16 = 16 - 30
Nr.5
Eine Gleichung besteht aus zwei mathematischen Termen (Ausdrücke bestehend aus Zahlen, Platzhaltern und Rechenzeichen), die durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden sind. Zwischen zwei Gleichungszeilen steht ein "Gleichbedeutend mit" - Zeichen (Äquivalenzzeichen). Nr.6
Unter der Ordnung einer endlichen Menge A, versteht man die Anzahl der Elemente dieser Menge.
Beispiele: A = {0,1,2}, ?A? = 3
C = {0,1,2,...,11}, ?C?= 12
T = { } (leere Menge), ?T?= 0
Nr.7
Eine Menge A ist Teilmenge einer Menge B,
wenn sämtliche Elemente der Menge A auch in B enthalten sind.
Man schreibt A ? B und sagt "A ist Teilmenge von der Menge B".
Beispiele: 1) Y = {20, 53}, M = {20}, Y ? M, M ? Y
2) Q = {1,2,3,4,5}, P = {1,4,6}, Z = {3,4}, X = { },
Also gilt P? Q, Z ? Q, X ? Q, Q ? Q
Nr.8
Unter dem Durchschnitt zweier Mengen A und B, versteht man die Menge mit den Elementen, die sowohl in der Menge A, als auch in der Menge B vorhanden sind.
Man schreibt A ? B und liest "A geschnitten B".
Beispiele: 1) IN ? {0,1,A,Q} = {0,1}
2) IN ? IN* = IN*
3) {1,3,5,7,... } ? {0,2,4,6,... } = { }
Nr.9
Unter der Differenzmenge A und B, versteht man die Menge mit den Elementen aus der Menge A, die nicht in der Menge B enthalten sind.
Man schreibt A \ B und ließt "A ohne B" oder "Differenzmenge von A und B".
Beispiele: 1) IN \ IN* = {0}
2) {1,2,3,4} \ { } = {1,2,3,4}
3) IN \ {0} = IN*
Nr.10
Unter der Vereinigung zweier Mengen A und B, verstehen wir die Menge mit den Elementen, die in der Menge A oder in der Menge B vorhanden sind.
Man schreibt A ? B und liest " A vereinigt B".
Beispiele: 1) {3,7,19} ? {4,7,16} = {3,4,7,16,19}
2) IN ? IN* = IN
3) {4,A,Z,9} ? {K,4,7,H} = {4,A,Z,9,K,7,H}
Nr.11
101 , 102 , 103 ( gelesen 10 hoch 3)
usw. heißen Potenzen von 10 bzw. Zehnerpotenzen.
Dabei heißt die Grundzahl 10 Basis und die Hochzahlen 0,1,2,3,4... heißen Exponenten der Zehnerpotenz. Nr.12
Bei der Multiplikation heißen die Zahlen a und b Faktoren und a*b Produkt.
Beispiel: 9 (1.Faktor) * 4 (2.Faktor) = 36 (Produkt) Für alle Zahlen a, b, c ? IN gilt: (siehe Nr.44)
1) a * b = b * a (KG)
2) ( a * b ) * c = a * ( b * c) (AG) Nr.13
Bei der Division heißt die Zahl a Dividend, die Zahl b Divisor und a : b Quotient.
Beispiel: 36 (Divident) : 4 (Divisor) = 9 (Quotient) Bei der Division gelten weder das Assoziativgesetz noch das Kommutativgesetz Nr.14
Die Division durch 0 ist verboten!
Nr.15
Was in den Klammern steht wird zuerst gerechnet!
Nr.16
Punktrechnung vor Strichrechnung Nr.17
Für alle a,b,c ? IN gilt das Distributivgesetz: a * b +/- a * c = a * ( b +/- c ).
Ausmultiplizieren bzw. Ausklammern Nr.18
Längenmaße
1 mm
1 cm = 10 mm
1 dm = 10 cm = 100 mm
1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm
1 km = 1000 m
Die magische Zahl ist 10! Nr.19
Flächenmaße
1 mm²
1 cm² = 100 mm²
1 dm² = 100 cm² = 10.000 mm²
1 m² = 100 dm² = 10.000 cm² = 1.000.000 mm²
1 a = 100 m²
1 ha = 100 a = 10.000 m²
1 km² = 1.000.000 m²
Die magische Zahl ist 100!
Nr.20
Ein Rechteck mit den Kantenlängen a und b hat den Flächeninhalt F = a *b
und den Umfang U = a + b + a + b = 2 * a + 2 * b = 2 * ( a + b ) Nr.21
Die Oberfläche eines Quaders mit den Kantenlängen a, b und c berechnet sich nach der Formel: Qq = 2 * ( a * b + a * c + b * c ). Nr.22
Das Volumen eines Quaders mit den Kantenlängen a, b und c ist V = a * b * c .
Beim Würfel gilt also: Vw = a * a * a = a³. Nr.23
Raummaße
1 mm³
1 cm³ = 1.000 mm³
1 dm³ = 1 l = 1.000 cm³ = 1.000.000 mm³
1 m³ = 1.000 dm³ = 1.000.000 cm³ = 1.000.000.000 mm³
Die magische Zahl ist 1.000! Nr.24
Gewichte
*1.000 *1.000 *1.000
t kg g mg Nr.25
Zeit
*24 *60 *60
d h min s Nr.26
Die Gleichung der Form a = b * x + r mit a, b ? IN* und x, r ? IN heißt Zerlegung von a nach b. Dabei heißt r der Rest.
Beispiele: 1)10.387 = 72 * 144 + 19
2)1 = 4 * 0 + 1
Nr.27
Ist bei einer Zerlegung der Rest r = 0, so ist a teilbar durch b. In diesem Fall heißt b ein Teiler von a und umgekehrt a ein Vielfaches von b. Man schreibt:
b/a (b teilt a) bzw. b/a (b teilt nicht a)
Beispiel:
2.736 = 19 * 144 +0 . Es ist r = 0, also ist 2.736 teilbar durch 19 bzw. 19 ist ein Teiler von 2.736 bzw. 2.736 ist ein Vielfaches von 19. 19/2.736 Nr.28 (Teilbarkeitsregeln)
Eine natürliche Zahl ist teilbar durch...
...2, wenn ihre Endziffer gerade ist;
...3, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist;
...4, wenn die Zahl aus den letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar ist;
...5, wenn die Endziffer 5 oder 0 ist;
...6, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist;
...8, wenn die Zahl aus den letzten drei Ziffern durch 8 teilbar ist;
...9, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist.
Beispiele: 2/ 287 f. 88 r. 1.956 r.
3/ 1.786 f. 710 f. 9.621 r.
4/ 432 r. 1787 f. 888 r.
5/ 501 f. 765 r. 9919 f.
6/ 2.839 f. 776 f. 99.912 r.
8/ 7.320 r. 8.754 f. 8.501 f.
9/ 89.465 f. 77.779 f. 4.995 r.
Nr.29
Die Menge aller Teiler einer natürlichen Zahl a ? IN heißt Teilermenge Ta,
die Menge aller Vielfachen heißt Vielfachenmenge Va = { 0,a,2*a,3*a,...} Nr.30
Ist der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen a und b gleich 1, so heißen diese Zahlen teilerfremd.
Beispiel: 27 und 16 sind teilerfremd, denn ggT (16, 27) = 1 Nr.31
Eine natürliche Zahl p ? IN, die größer als 1 ist, heißt Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst (also p) teilbar ist. Nr.32
Nimm zur Berechnung des ggT von den gemeinsamen Primfaktoren jeweils die kleinste vorkommende Potenz und multipliziere sie miteinander. Nr.33
Nimm zur Berechnung des kgV von allen vorkommenden Primfaktoren jeweils die größte Potenz und multipliziere sie miteinander.
Ein Ausdruck der Form mit a ? IN und b ? IN* heißt Bruch.
Dabei nennt man die Zahl a "Zähler" , die Zahl b "Nenner" des Bruches und den "Strich" Bruchstrich. ist gleichbedeutend mit a:b.
Nr.34
Zwei Brüche sind wertgleich, wenn der eine aus dem anderen hervorgeht, wenn man dessen Zähler und Nenner durch (mit) dieselbe (derselben) Zahl dividiert "Kürzen" (multipliziert "Erweitern").
Beispiel: Kürzen: =
Erweitern: =
Nr.35
Die Menge aller Zahlen mit a ? IN und b ? IN* heißt die Menge aller Bruchzahlen. Man schreibt IB = ? / a ? IN und b ? IN*?
IN und IN* sind Teilmengen von IB (also IN ? IB bzw. IN* ? IB).
Beispiel: ? IB, 4 ? IB aber ? IN , ?0, , 2, 2 , 1? ? IB
Nr.36 (Additionsregel)
Man addiert (subtrahiert) zwei Brüche mit dem selben Nenner,
indem man die Zähler addiert (subtrahiert) und den Nenner beibehält:
Für alle a,c ? IN und b ? IN* gilt: + = bzw. - = Nr.37
Stammbrüche und Dezimalbrüche:
= 0,5 = 0,333333...
= 0,25 = 0,2
= 0,125 = 0,1 Nr.38
Die Halbgerade h1 und h2 heißen Schenkel des Winkels, S heißt Scheitelpunkt.
Die Einheit des Winkelbetrags ist 1° (1 Grad). Nr.39
Spezielle Namen: ? heißt
Nullwinkel oder Vollwinkel, wenn h1=h2 (? = 0° bzw. 360°),
spitzer Winkel, wenn 0°< ? < 90°,
rechter Winkel, wenn ? = 90° ,
stumpfer Winkel, wenn 90° < ? < 180°,
gestreckter Winkel, wenn ? = 180°,
überstumpfer Winkel, wenn 180° < ? < 270° ist. Nr.40
An einfachen Geradenkreuzung sind gegenüberliegende Scheitelwinkel gleich groß und Nebenwinkel bilden zusammen 180°. Nr.41
Wird eine doppelte Geradenkreuzung von zwei Parallelen Geraden geschnitten, so sind die Beträge (Winkelmaße) der Wechselwinkel (Stufenwinkel) jeweils gleich. Nr. 42
Verschiebungspfeile (Vektoren) a (mit Pfeil nach rechts über dem a), die zur gleichen Verschiebung Va (wieder mit Pfeil über dem a) gehören, sind
(1) gleich lang, (2) parallel und (3) gleich gerichtet. Nr. 43
Mit dem Betrag eines Vektors bezeichnet man seine Länge. Nr. 44
Für eine Drehung benötigen wir einen Drehpunkt M und einen Drehwinkel ?. Wir schreiben
DM,? . Da M fest bleibt, d.h. sich selbst als Bildpunkt hat, ist er ein Fixpunkt. Drehungen um 180° nennt man auch Punktspiegelungen. Nr. 45 (Kreisbegriffe) S2 s2
d
r M t
S1 r
s1
S2 Nr.46 (Multiplikationsregel)
Für alle a,c ? IN und b,d ? IN* gilt
* = . Nr.47
Für alle x,y,z ? IB gilt
x*y = y*x x+y = y+x (KG)
x*(y*z) = (x*y)*z x+(y+z) = (x+y)+z (AG) Nr.48 (Divisionsregel)
Für alle a ? IN und b,c,d ? IN* gilt
: = * = .
(man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert). Nr.49
Für alle x,y,z ? IB gilt das Distributivgesetz:
x*(y+z) = x*y+x*z (DG) Nr.50 (Distributivgesetzergänzung)
Für alle a,b,c,d ? B gilt
(a+b)*(c+d) = a*(c+d)+b*(c+d) = a*c + a*d + b*c + b*d Nr. 51
Um Subtraktionen immer ausführen zu können, erweitert man den Zahlenstrahl zur Zahlengerade, die Menge IN der natürlichen Zahlen zur Menge Z = {...-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...} der ganzen Zahlen und die Menge IB der positiven Bruchzahlen zur Menge IQ = { / a ? Z und b ? N*} der rationalen Zahlen.
Nr.52
Der Abstand einer rationalen Zahl a von Null auf der Zahlengeraden heißt der Betrag von a und wird mit ?a? bezeichnet.
Beispiele:
?6? = 6 ?-5,1?= 5,1 Nr.53
Die Zahl, die auf der Zahlengeraden ebenso weit von Null entfernt ist wie a, heißt Gegenzahl von a . Nr54 (Additionsregel)
Zahlen mit gleichem Vorzeichen werden addiert, indem man die Beträge addiert und das Vorzeichen übernimmt.
Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen werden addiert, indem man die beiden Beträge subtrahiert und dem Ergebnis das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag gibt. Nr.55 (Subtraktionsregel)
Statt eine Zahl zu subtrahieren, kann man ihre Gegenzahl addieren.
+a = a Vorzeichen
+(+a) = +a Rechenzeichen
-(-a) = +a Rechenzeichen
+(-a) = -a Rechenzeichen
-(+a) = -a Rechenzeichen
Nr.56 (Produktregel)
Das Produkt zweier Zahlen mit gleichen Vorzeichen ist positiv.
Das Produkt zweier Zahlen mit ungleichen Vorzeichen ist negativ. Nr.57
Auch in der Menge IQ gelten das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz bezüglich der Addition und der Multiplikation und das Distributivgesetz. Nr.58
Eine Menge M bildet bezüglich der Verknüpfung „?„ eine Gruppe (M, ?), wenn folgende 4 Eigenschaften gelten.
Für alle x, y, z ? M gilt:
(G1) x ?y ? M (Abgeschlossenheit)
(G2) x ?( y ? z ) = ( x ? y) ? z (AG)
(G3) Es existiert ein n ? M, so dass gilt
x ?n = x (neutrales Element)
(G4) Zu jedem x ? M existiert ein -x ? M, s. d. x ? (-x) = n (Existenz inverser Elemente). Gilt zusätzlich x ? y = y ? x (KG) ,spricht man von einer kommutativen ( abelschen ) Gruppe. Nr.59
Wird jedem Element x einer Menge A (Argumentmenge) genau ein Element y aus der Menge B (Zielmenge) zugeordnet, so nennen wir diese Zuordnung Funktion
Wir schreiben f: x ? y, x ? A ( lies „ f x wird abgebildet auf y, x ? A“). Die Gesamtheit aller zugeordneten Zahlen heißt Wertebereich W ? B. Die Gleichung y = f(x) heißt Funktionsgleichung (lies“ f (an der Stelle) von x“) Nr.60
Eine Funktion, die man in der Form f: x ? a?x + b mit a,b ?IQ schreiben kann, nennt man lineare Funktion. Dabei nennt man a die Steigung und b den Ordinatenabschnitt (y-Achsenabschnitt) der Gerade. Lineare funktionen der Form f: x ? a?x heißen proportionale Funktionen, ihre Graphen sind Ursprungsgeraden.
Beispiele (lin. Funktionen): f1: x ? -3; f2: x ? x? ; f3: -0,0001 + x
Gegenbeispiele: f4: x ? 9?x2 + 95; f5: x ? ? 98
Nr. 61
xn heißt Nullstelle einer Funktion f, wenn f(xn) = 0 ist.
xf heißt Fixstelle einer Funktion f, wenn f(xf) = xf ist. Nr.62
Zwei Figuren heißen kongruent (deckungsgleich), wenn sie sich durch wiederholtes Drehen, Verschieben oder Spiegeln aufeinander abbilden lassen. Kongruente Figuren stimmen überein in den entsprechenden Winkelgrößen und Seitenlängen. Nr. 63 (Kongruenzsätze)
Dreiecke sind schon kongruent, we4nn sie übereinstimmen in
I. den drei Seiten (SSS)
II. zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (SWS)
III. einer Seite und zwei Winkeln (SWW, WSW)
IV. zwei Seiten und dem Winkel der der größeren Seite gegenüber liegt (SSWg) Nr. 64
Für alle a,b,c,d ? IQ gilt: (a + b)?(c + d) = a?c + b?c + a?d + b?d = ac+bc+ad+bd.
Man muss jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem der zweiten Klammer multiplizieren. Nr. 65 (Binomische Formeln)
Für alle a,b ? IQ gilt:
1. (a+ b)2 = a2 + 2ab + b2
2. (a ? b)2 = a2 ? 2ab + b2
3. (a + b)?(a ? b) = a2 ? b2 Nr. 66
Zu jeder Strecke AB kann man genau einen Kreis k zeichnen, der den Durchmesser AB hat. Ein solcher Kreis heißt Thaleskreis.
Nr. 67 (Satz von Thales)
Ein Dreieck ABC hat genau dann einen rechten Winkel ?, wenn C auf dem Thaleskreis von AB liegt. Nr. 68
Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich aus A = ?g?h (Halbe Grundseite mal zugehörige Höhe) Nr. 69
Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist A = g?h. Nr.70
Der Flächeninhalt eines Trapezes ist A = (a + c)?h = m?h. Nr. 71
Für das Volumen eines Prismas gilt: V = G?h (Grundfläche mal Höhe). Nr. 72 (Satz des Pythagoras)
In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat. Mit ? = 90° gilt also c2 = a2 + b2 . Nr. 73
Eine Gleichung, die sich in der Form x2 = a (a? IR) schreiben lässt, heißt reinquadratische Gleichung. Nr. 74
Für a ? IB bezeichnet (Wurzel aus a) diejenige nicht negative Zahl, die mit sich selbst multipliziert a ergibt.
Beispiel: =12, aber ist nicht definiert, da -25 ? IB ist. Nr. 75
Ein unendlicher Dezimalbruch ohne Periode heißt irrationale Zahl.
Beispiele: , , - oder 1,248163264128... Gegenbeispiel: Nr.76
Die Menge aller Zahlen auf der Zahlengerade - die Menge aller rationalen Zahlen IQ und die Menge aller irrationalen Zahlen JI - heißt die Menge der reellen Zahlen IR.
(IQ enthält periodische oder endliche Dezimalbrüche, JI nicht periodische nicht endliche Dezimalbrüche) Nr. 77
Für alle a,b,c ? IR gilt:
1. a + b ? IR (Abgeschlossenheit)
2. (a + b) + c = a + (b + c) (Assoziativgesetz)
3. a + 0 = a (0 ist neutrales Element der Addition)
4. Zu jeder Zahl a existiert ein inverses Element -a, so dass a + (-a) = 0 ist
5. a + b = b + a (Kommutativgesetz)
6. a ? b ? a + c ? b + c (Monotoniegesetz) Nr. 78 (Wurzelgesetze)
Für alle a,b ? IR+0 gilt:
1. ? =
2. ( )2 =
3. =
Achtung: + ? ! ( + ? bzw. 4 + 3 ? 5) Nr. 79
Für alle a,b,c ? IR gilt:
1. a ? b ? IR (Abgeschlossenheit)
2. (a ? b) ? c = a ? (b ? c) (Assoziativgesetz)
3. a ? 1 = a (1 ist neutrales Element der Multiplikation)
4. Zu jeder Zahl a ? IR? existiert ein inverses Element , so dass a ? = 1 ist
5. a ? b = b ? a (Kommutativgesetz) Nr. 80 (Höhensatz)
In jedem rechtwinkligen Dreieck hat das Quadrat über der Höhe denselben Flächeninhalt wie das Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten: h2 = p ? q . Nr. 81 (Kathetensatz)
In jedem rechtwinkligen Dreieck hat das Quadrat über einer Kathete denselben Flächeninhalt wie das Rechteck aus der Hypotenuse und dem zugehörigen Hypotenusenabschnitt: a2 = c ? q bzw. b2 = c ? p . Nr. 82 (1. Strahlensatz)
Werden zwei Strahlen, die von einem Punkt ausgehen, von zwei Parallelen geschnitten, so ist das Streckenverhältnis zweier Abschnitte auf einem Strahl gleich dem Streckenverhältnis der entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl. Nr. 83 (2. Strahlensatz)
Voraussetzungen wie beim 1. Strahlensatz. Dann verhalten sich die Abschnitte auf den Parallelen wie die entsprechenden auf einem Strahl. Hierbei werden die Strahlenabschnitte jeweils vom Strahlenanfang gemessen. Nr. 84
Eine Abbildung heißt zentrische Streckung, wenn sie folgende drei Eigenschaften besitzt:
1. Es gibt einen Fixpunkt F.
2. Ist P ? F, so liegt der Bildpunkt P’ auf der Geraden durch F und P .
3. Für alle P gilt: I FP’ I = k ? I FP I mit k ? IR.
F heißt Streckzentrum, k Streckfaktor. Ist k ? 0, so liegt P’ auf der zu P entgegengesetzten Seite von F. Nr. 85
Eine zentrische Streckung ZF,k (bildet)
1. eine Strecke auf eine Strecke IkI-facher Länge ab
2. ein Vieleck auf ein Vieleck ab mit k2-fachem Flächeninhalt
3. lässt Winkelgrößen und Streckenverhältnisse unverändert. Nr. 86
Eine Funktion, die sich in der Form f: x ? ax2 + bx +c mit a,b,c ? IR und a ? 0 schreiben lässt, heißt quadratische Funktion, ihr Graph Parabel.
Beispiele: f: ? x2 (Normalparabel) (a=1, b=0, c=0); g: x ? + 2x2 +4x (a=2, b=4, c= ); h: x ? x2 - (a= , b=0, c= ); k: x ? -5x2 + 3x (a=-5, b=3, c=0)
Gegenbeispiele: l: x ? 2x + 6 (lineare Funktion); m: x ? 3( )2 + x - 1 (lin. Fkt.); n: x ? 4x3 - x - 9 (wegen x3). Nr. 87
Bei der Verschiebung einer Normalparabel um den Vektor (u;v) (Die Koordinaten werden übereinander geschrieben, was hier nicht machbar ist) mit u,v ? IR erhält man die Parabel der Funktion f: x ? (x-u)2 + v . Der Scheitelpunkt (0;0) geht über in (u;v). f: x ? (x-u)2+ v heißt Scheitelpunktform von f. Nr. 88
Hat eine quadratische Funktion die Scheitelpunktform f: x ? a?(x-u)2 + v mit a,u,v ? IR und a ? 0, so ist S=(u;v) der Scheitelpunkt der Parabel. Für a ? 0 ist u die Maximalstelle und v das Maximum. Für a ? 0 ist u die Minimalstelle und v das Minimum. Der Scheitelpunkt ist Hochpunkt bzw. Tiefpunkt.
Beispiele: f(x) = -3x2 + 6x +9 = -3(x2 ? 2x) + 9 = -3(x ? 1)2 ? 12?(-3) + 9 = -3(x ? 1)2 + 12. Der Hochpunkt ist also S=(1;12), die Maximalstelle xm=1 und das Maximum f(1) = 12 .
g(x) = x2 ? 10x = (x2 ? 4x) = (x ? 2)2 ? 22? = (x ? 2)2 ? 10 . Der Tiefpunkt ist mithin S=(2;-10), die Minimalstelle xm=2 und das Minimum f(2)=-10 . Nr. 89
Eine Gleichung, die sich in der Form ax2 + bx +c = 0 mit a,b,c ? IR und a ? 0 schreiben lässt, heißt quadratische Gleichung. Ist b = 0, so heißt sie reinquadratische Gleichung. Jede quadratische Gleichung lässt sich in der Normalform x2 + px + q = 0 (p= ; q= ) schreiben. Nr. 90
Ist die Diskriminante ? q einer quadratischen Gleichung in der Normalform x2 + px + q = 0 über der Grundmenge IR
a. ? 0, so hat die Gleichung die Lösungsmenge IL = { +/? }
b. = 0, so ist IL = { ? } bzw.
c. ? 0, so ist IL = { }. Nr. 91 (Satz von Vieta)
x1 und x2 sind genau dann Lösungen der quadratischen Gleichung in der Normalform x2 + px + q = 0 , wenn gilt:
(1) x1 + x2 = ?p und
(2) x1 ? x2 = q . Nr. 92 (Potenzgesetze)
(1) an = a ? a ? a ? ... ? a (n-mal) mit n ? IN und a ? IR,
(2) a0 = 1 mit a ? IR,
(3) a?n = mit n ? IN und a ? IR*,
(4) a = mit m ? IN, n ? Y und a ? IR?0. Für alle a,b ? IR?0 und x,y ? IR gilt (5) ax ? ay = ax+y
(6) ax ? bx = (a ? b)x
(7) (ax)y = ax ? y Nr. 93 (Potenzfunktion)
Funktionen, die sich in der Form (x?IR? für n<0) schreiben lassen, heißen Potenzfunktionen. Nr. 94 (Monotoniekriterium)
Eine Funktion f mit der Definitionsmenge D heißt streng monoton
? steigend, wenn für alle x1, x2 ? D gilt: Aus x1 < x2 folgt f(x1) < f(x2),
? fallend, wenn für alle x1, x2 ? D gilt: Aus x1 < x2 folgt f(x1) > f(x2). Nr. 95 (Umkehrfunktion)
Eine Funktion f mit der Definitionsmenge D heißt umkehrbar,
wenn für alle x1, x2 ? D gilt: Aus x1 ? x2 folgt f(x1) ?f(x2). Man bezeichnet die Umkehrfunktion mit f?1 (lies: f hoch minus eins). Nr.96
Streng monotone Funktionen sind umkehrbar. Nr.97 (Kreisumfang)
Für den Umfang U eines Kreises mit dem Radius r?IR+ gilt U = 2?r. Nr. 98 (Kreisscheibeninhalt)
Für den Flächeninhalt A der Kreisscheibe mit dem Radius r?IR+ gilt A = ?r2. Nr. 99 (Flächeninhalt eines Kreissektors)
Für den Flächeninhalt eines Kreissektors mit dem Kreisbogen b bzw. dem zugehörigen Mittelpunktswinkel ? gilt: As = ?r2 ? = Nr. 100 (Bogenmaß)
Für die Bogenlänge eines Kreissektors mit dem Mittelpunktswinkel ? gilt: bs = 2?r ? = ?r ? . Nr. 101 (Trigonometrische Quotienten)
Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit ? = 90°. Bezeichne ferner G die Gegen-, A die Ankathete von Winkel ? und H die Hypotenuse. Dann sind die folgenden vier Quotienten eindeutig bestimmt. Man bezeichnet sie als
(1) sin ? = G : H (Sinus ?)
(2) cos ? = A : H (Kosinus ?)
(3) tan ? = G : A (Tangens) und
(4) cot ? = A : G = 1 : tan ? (Kotangens). Nr. 102 (Winkelfunktionen (Trigonometrische Funktionen) am Einheitskreis (Radius r = 1))
Zu jedem Mittelpunktswinkel ? gehört ein Bogenmaß x. Man erhält eindeutige Funktionen:
(1) sin : x ? sin x mit x?IR,
(2) kos : x ? cos x mit x?IR,
(3) tan : x ? tan x mit {x?IR / x ? } und
(4) kot : x ? cot x mit {x?IR / x ? }. Nr. 103 (Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen)
Es gelten die folgenden Beziehungen:
(1) sin2x + cos2x =1
(2) tan x = für 0 ? x < . Nr. 104 (Sinussatz)
In jedem Dreieck gilt:
. Nr. 105 (Kosinussatz)
(Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras)
In jedem Dreieck gilt:
(1) a2 = b2 + c2 ? 2bccos?
(2) b2 = a2 + c2 ? 2accos?
(3) c2 = a2 + b2 ? 2abcos? . Nr. 106 (Zylinder)
Für das Volumen bzw. die Oberfläche eines Zylinders mit dem Radius r und der Höhe h gilt:
(1) V = r2?h
(2) O = 2 r2? + 2r?h =2r?(r+h) . Nr. 107 (Pyramide)
Für das Volumen bzw. die Oberfläche einer Pyramide mit der Grundfläche G, der Höhe h und dem Mantel M gilt:
(1) V =
(2) O = G + M . Nr. 108 (Kegel)
Für das Volumen bzw. die Oberfläche eines Kegels mit dem Radius r, der Höhe h und der Seitenlinie s gilt:
(1) V =
(2) O = . Nr. 109 (Kugel)
Für das Volumen bzw. die Oberfläche einer Kugel mit dem Radius r gilt:
(1) V =
(2) O = 4r2? . Nr. 110 (Exponentialfunktion)
Funktionen, die sich in der Form f: x ? ax mit a ? IR+\{1} und x ? IR schreiben lassen, heißen Exponentialfunktionen. Nr.111 (Logarithmus einer Zahl)
Der Logarithmus einer Zahl b zur Basis a mit a,b ? IR+ ist der Exponent, mit dem die Basis a multipliziert werden muss, um die Zahl b zu erhalten. Kurz:
loga b = r ? ar = b . Nr. 112 (Logarithmusfunktion)
Funktionen, die sich in der Form f: x ? loga b mit x ? IR+ schreiben lässt, heißt Logarithmusfunktion zur Basis a. Nr. 113 (Logarithmus bei einer beliebigen Basis)
Für alle a ? IR+\{1} und x ? IR gilt:
. Nr. 114 (Logarithmusregeln, Logarithmengesetze)
Für alle u,v ? IR+ , a ? IR+\{1} und r ? IR gilt:
(1) loga(u ? v) = loga u + loga v
(2) loga = loga u ? loga v
(3) loga ur = r ? loga u .
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